Correspondance biunivoque
En mathématiques, une bijection est une application bijective. Une application est bijective si et seulement si tout élément de son ensemble d'arrivée a un et un seul antécédent, c'est-à-dire est image d'exactement un élément de son ensemble de départ, ou encore si elle est injective et surjective.
On peut remarquer que, dans cette définition, on n'impose pas de condition aux éléments de l'ensemble de départ.
De manière équivalente, une bijection est une injection surjective ou une surjection injective. Les bijections sont aussi parfois appelées correspondances biunivoques.
On peut aussi voir que s'il existe une bijection f d'un ensemble E dans un ensemble F alors il en existe une de F dans E : la bijection réciproque de f, qui à chaque élément de F associe son antécédent par f. On peut alors dire que ces ensembles sont en bijection.
Cantor a le premier démontré que, s'il existe une injection de X vers Y et une injection de Y vers X (pas nécessairement surjectives), alors il existe une bijection entre les deux ensembles (c'est le théorème de Cantor-Bernstein).
Il est facile de montrer que si deux ensembles finis sont en bijection alors ils ont le même nombre d'éléments. L'extension de cette équivalence aux ensembles infinis a mené au concept de cardinal d’un ensemble, et à distinguer différentes tailles d’ensembles infinis, qui sont des classes d'équivalence d'ensembles en bijection (on parle aussi d'équipotence). Ainsi, on peut par exemple montrer que l'ensemble des nombres entiers a la même taille que l'ensemble des rationnels, mais que ce dernier ensemble a une taille inférieure à l'ensemble des réels. En effet, on peut seulement créer des injections mais pas de surjections de \N dans \R.

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